Прогин шарнірно опертої балки під рівномірним навантаженням f = 5qL⁴ / (384EI). Для балок і прогонів невеликих навісів часто беруть межу L/200: на прольоті 3 м це 15 мм. Труба 80 × 40 × 3 під 1 кН/м (близько 100 кг на метр) на 3 м прогинається на 9,62 мм, якщо стоїть на ребро, і на 28,6 мм, якщо лежить плазом.
Формула прогину
M = q · L² / 8, σ = M / W q навантаження, Н/мм (1 кН/м = 1 Н/мм); L прольот, мм; E модуль пружності, для сталі 210 000 МПа; I момент інерції перерізу, мм⁴; W момент опору, мм³
У формулі головний множник L⁴: збільште прольот удвічі, і прогин зросте в шістнадцять разів. Другий важливий множник I, момент інерції. Він залежить від форми перерізу, а не від ваги труби.
Приклад: труба 80 × 40 × 3 на прольоті 3 м
Балка лежить на двох опорах, прольот 3 м, рівномірне навантаження 1 кН/м. Сталь S235. Момент інерції труби, що стоїть на ребро, з урахуванням радіусів кутів I = 52,21 см⁴.
fгран = L / 200 = 3000 / 200 = 15 мм → проходить
M = 1 · 3000² / 8 = 1,125 кН·м, σ = 1 125 000 / 13 050 = 86,2 МПа < 235 МПа
Той самий результат дає калькулятор прогину: він розв'язує балку методом скінченних елементів і збігається з формулою до сотої міліметра.
Одна вага, утричі різний прогин
Тепер покладемо ту саму трубу плазом і порівняємо з квадратними трубами. Навантаження й прольот ті самі.
| Профіль | Положення | I, см⁴ | Вага, кг/м | Прогин, мм | L/200 |
|---|---|---|---|---|---|
| 80 × 40 × 3 | на ребро | 52,21 | 5,19 | 9,62 | так |
| 60 × 60 × 3 | квадрат | 35,12 | 5,19 | 14,3 | на межі |
| 80 × 40 × 3 | плазом | 17,55 | 5,19 | 28,6 | ні |
| 80 × 80 × 3 | квадрат | 87,81 | 7,07 | 5,72 | так |
S235, шарнірне опирання, q = 1 кН/м, L = 3 м, без власної ваги
Три перші труби важать однаково, і метал на них коштує однаково. Але плазом труба 80 × 40 × 3 прогинається в 2,98 раза більше, ніж на ребро, і норму вже не проходить. Причина в тому, що момент інерції росте пропорційно кубу висоти перерізу: висота працює, ширина майже ні.
Перш ніж брати товщу трубу, поверніть ту, що є, на ребро. Це безкоштовно.
Власна вага і консоль
Труба несе ще й себе. Для 80 × 40 × 3 це лише 5,19 кг/м, і прогин зростає з 9,62 до 10,11 мм. Для легких навісів цим можна знехтувати, для важких прольотів ні.
Консоль, тобто балка, защемлена одним кінцем, рахується за іншою формулою: f = qL⁴ / (8EI). Межу для консолі беруть від подвоєного вильоту: виліт 1 м дає межу 2000 / 200 = 10 мм. Та сама труба на ребро з вильотом 1 м під 1 кН/м прогинається на 1,14 мм.
Яка межа прогину правильна
Граничні прогини задає ДБН В.1.2-2 «Навантаження і впливи»: межа залежить від прольоту і призначення елемента. L/200 це поширене і консервативне значення для балок і прогонів невеликих навісів, тому калькулятор перевіряє його за замовчуванням. Для перекриття, по якому ходять, чи для елемента під скляним заповненням межа може бути суворішою, і її треба брати з норми для конкретного випадку.
Де помиляються найчастіше
- Неправильне навантаження. На прогін навісу приходить сніг не з квадратного метра, а з усієї смуги між прогонами: сніг × крок прогонів.
- Труба плазом. Найдешевша помилка в розрахунку і найдорожча в житті.
- Перевіряють міцність, але не прогин. У прикладі вище напруження втричі менше межі текучості, а запас за прогином значно менший.
- Ідеальні опори. Реальний вузол на двох болтах не є ні ідеальним шарніром, ні повним защемленням. Для відповідальних конструкцій це рахують окремо.
Питання й відповіді
Що далі
Калькулятор і формула закривають одну балку. Раму, навіс з вітровим навантаженням чи конструкцію з десятків елементів я рахую методом скінченних елементів, з висновком і правками перерізів. Як це виглядає, описано на сторінці розрахунку металоконструкцій на міцність.